Константин Коцев завършва право в Софийския университет "Св. Климент Охридски" през 1950 г. Завършва и ВИТИЗ през 1957 г., а година по-рано участва във филма "Две победи". След това играе в "На малкия остров", "Инспекторът и нощта", "Случаят Пенлеве", "Бялата стая", "Топло", "Няма нищо по-хубаво от лошото време"., "Шведските крале" "Бягство в Ропотамо", "Привързаният балон" и др. Последната му филмова роля е в "Рапсодия в бяло".

Един от основателите и дългогодишен актьор на Държавния сатиричен театър "Алеко Константинов" (1958-1984). Играл е в Драматичния театър "Адриана Будевска", Бургас (1958-1959) и в Театър "София" (1984-1990). От 1990 г. е артист на свободна практика.

Сред най-ярките му сценични изпълнения са моноспектакълът "Дневникът на един луд" на Гогол, Жевакин от "Женитба", Крутицки от "И най-мъдрият си е малко прост" от Островски, "Тартюф" от едноименната комедия на Молиер. Играл е в пиеси на Йордан Радичков - "Януари" и "Суматоха", както и в пиесата на Никола Русев "Старчето и стрелата", поставена от Методи Андонов.

В последните години от живота си се разболява от болестта на Алцхаймер.