Стоян Алексиев завършва актьорско майсторство за драматичен театър във ВИТИЗ "Кръстьо Сарафов" в класа на професор Елка Михайлова през 1975 г. Играе на сцените на театрите в Шумен (1975-1978), Варна (1978-1984), Пловдив (1984-1987). От 1997 г. е на щат към Народния театър "Иван Вазов".

В Театър 199 играе в постановките: "Процесът по изчезване тялото на Исус Назарянина" от Стефан Гечев, "Порок и престъпление (Вечерята)" от Жан Клод Брисвил, "Вайсман и червенокожият" от Георг Табори, "Син портокал" от Джо Пенхол, "Фантомна болка" от Елена Алексиева.

През периода 1997-2000 г. е директор на Драматичен театър "Стоян Бъчваров".

Стоян Алексиев е взел участие в над 50 български филми и сериали. Алексиев се занимава активно и с озвучаване на филми, сериали и аудио книги на български език.