Борис Цветков учи в 108 ЕСПУ "Никола Беловеждов" (от 1 до 5 клас), в Софийска математическа гимназия "Паисий Хилендарски" (6 и 7 клас) и завършва Националната природо-математическа гимназия "Акад. Любомир Чакалов". Участва в отборите по математика на СМГ и НПМГ.

Завършва специалност "Информатика" в СУ "Св. Климент Охридски". По време на следването си в СУ е избиран за член на Общото събрание на Факултета по математика и информатика на СУ и на Факултетния съвет на ФМИ на СУ. По-късно следва магистратура със специалност "Публична администрация" във ВТУ "Св. св. Кирил и Методий". Специализира "Политически мениджмънт" в НБУ и Българско училище за политика.

Бил е заместник-председател на Български студентски съюз (национална организация на българските студенти, пълноправен член Европейския студентски съюз - Федерация на националните студентски съюзи на Европа (ESU)). Член на Комисията за съгласуване на студентските интереси към МОНТ, член на Съвета на Студентски дом - София към МОНТ и член на Съвета за управление и координация на "АКАДЕМИКА - Студентски отдих, спорт и туризъм" към Министерството на образованието, науката и технологиите.

Бил е заместник-председател на Политическа партия Социалистически младежки съюз. Председател на Националния подготвителен комитет на България в 15 Световен фестивал на младежта и студентите в Каракас, Венецуела. Председател е на Сдружение за осъществяване на дейност в обществено полза "Дискусионен клуб за социална местна политика", на Сдружение "Академика - Студентски дейности, отдих и спорт" и на Сдружение "Асоциация за приятелство "България-Венецуела"".

Заместник-председател на Управителния съвет и председател на Градския съвет на Българския антифашистки съюз София град.

Член е на БСП от 1997 г., през 2010 г. е избран за председател на Районния съвет на БСП в район "Искър", Столична община. От септември 2013 година е заместник-председател на районната партийна организация на БСП "Искър". На 21 март 2015 г. е избран от районната конференция на БСП Искър отново за председател на РС на БСП Искър (и преизбран на 31 май 2015 г.). Член е на Градския съвет на БСП - София и на Националния съвет на БСП. Бил е член на Комисията за електронно членство в БСП и неин секретар. Член е на Комисията по организационните въпроси и връзка със структурите, Комисията по вътрешнопартийните допитвания, Комисията по кадровата политика, Съвета по транспорт, информационни технологии и съобщенията и Съвета по образование и наука на Националния съвет на БСП.

От 2001 до 2013 година работи като политически организатор в Отдел "Организация и териториална координация" към Висшия (Националния) съвет на БСП като отговаря последователно за областите Бургас, Велико Търново, Перник, Кюстендил, Пазарджик, Смолян, Благоевград, София област.

Избран за общински съветник от БСП в Столичен общински съвет (СОС) през мандат 2003 - 2007 година, член на Постоянната комисия по транспорт, транспортна инфраструктура и безопасност на движението, член на Постоянната комисия за децата, младежта, спорта и туризма и на Комисията за провеждане на таен избор на СОС. Член е на Управителния съвет и на Обществения съвет на Съвета за безопасно движение на децата в София. Отново е избран за общински съветник от БСП в Столичния общински съвет за мандат 2011-2015 г. и изпълнява отговорностите си до избирането му за народен представител на 12 май 2013 г.

Периодично запознава гражданите с дейността си чрез публични срещи с гражданите и чрез разпространяването на писмени отчети.

На парламентарните избори през 2013 г. е избран за народен представител от листата на Коалиция за България от 24 МИР София.

Заместник-председател е на Комисията по отбрана и е член на Комисията по околната среда и водите на XLII народно събрание.

Кандидат е за кмет на район "Искър", Столична община от БСП на изборите за местна власт през 2015 г. и за общински съветник от БСП в Столичния общински съвет. Избран за общински съветник от "МК БСП лява България" в Столичен общински съвет за мандат 2015 - 2019 г.

Кандидат е за кмет на район "Искър", Столична община от БСП на изборите за местна власт през 2019 г. и за общински съветник от БСП в Столичния общински съвет.