Борислав Цонев започва да тренира футбол в местния клуб Пирин (Благоевград). През 2009 г. е привлечен в школата на Левски (София), заедно с брат си Радослав.

На 27 май 2011 г. дебютира за Левски в "А" група на 16-годишна възраст.

На 29 април 2013 г., когато навършва 18 години, Борислав подписва първи професионален договор с Левски, който е с продължителност от 3 сезона.

През сезон 2013/14 Борислав започва да попада по-често в състава на Левски. На 18 септември 2013 г. бележи първия си гол за клуба при победата с 4:0 над Пирин (Гоце Делчев) от турнира за Купата на България. През лятото на 2014 г. получава тежка контузия - скъсана предна връзка на коляното, от която се възстановява близо 9 месеца. Завръща се в игра в началото на 2015 г., като до края на сезон 2014/15 бележи 3 гола в "А" група в общо 9 мача.

В началото на септември 2015 г. отново къса връзка на коляното в среща на Младежкия национален отбор срещу Люксембург.