Коста Цонев е работи от 14-годишна възраст, когато баща му умира. По-късно го пресъздава художествено в мюзикъла "Баща ми, бояджията" по сценарий на брат му писателя сатирик Васил Цонев.

Изпълнил е общо над 70 роли в киното. Ролята на разузнавача Емил Боев в няколко филма по сценарии на Богомил Райнов му носи огромна популярност: "Господин Никой" (1969), "Няма нищо по-хубаво от лошото време" (1971), "Голямата скука" (1973), "Реквием за една мръсница" (1976), "Умирай само в краен случай" (1978), "Тайфуни с нежни имена" (1979).

Той дебютира в киното още като студент през 1951 г. в малката роля на немски офицер във филма "Тревога", а след това изпълнява все централни роли в "Командирът на отряда" (1959), "В тиха вечер" (1960), "Бедната улица" (1960), "Бъди щастлива, Ани" (1961), "Баща ми бояджията" (първият български филм мюзикъл), "Басейнът" и мн. др.

Няколко поколения помнят Коста Цонев с ролята на Емил Боев, донесла му изключителна популярност във филмите "Господин Никой" и "Няма нищо по-хубаво от лошото време", които са създадени по книгите на Богомил Райнов за българското разузнаване.

В "Сватбите на Йоан Асен" се снима в две роли, тъй като му се налага да замести починалия по време на снимките Апостол Карамитев в ролята на Йоан Асен, а изпълни и ролята на царския брат Александър.

Участвал е и в почти всички телевизионни сериали през миналия век: "На всеки километър", "Демонът на империята", "Изгори, за да светиш", "По дирята на безследно изчезналите", "Дом за нашите деца", "Бащи и деца", "Неизчезващите" и др.

Последният филм с негово участие е "Шантав ден" от 2004 г. на режисьора Силвия Пешева, в който си партнира с актрисата Весела Казакова.

Член на СБФД.