Александър Куюмджиев завършва СМУ "Л. Пипков" с цигулка при К. Зидаров и А. Иванова през 1965 г.
През 1972 г. завършва дирижиране в ДМА "П. Владигеров" при проф. Д. Русков

Международен курс за диригенти - Ваймар, Германия (1972) и Берлин, Германия (1974).
Курс по администрация и управление на изкуствата на Програма ФАР, Британски Съвет и М-во на културата (1999)

Александър Куюмджиев е основател и диригент на Камерен хор "Средец" - София (от 1972 г. до днес) и хор "Корона" (1990-1993); Работил е и като диригент на хоровете: смесен хор "Рилски звуци" - гр Дупница (1970-1972), Хор на запасните офицери - гр. Ямбол (1972-1974), смесен хор "Гео Милев" - гр. Пловдив (1974-1976), Дамски хор "Морфова-Прокопова" при Н.Б."Кирил и Методий" - София (1976-1982), смесен хор "България" при М-во на финансиите - София (1986-1989), камерен хор при старинен храм "Св. Николай Мирликийски" - София ( от 2004 г.), Академичен хор "Христо Арищиров" при Югозападен университет "Неофит Рилски" - Благоевград (от 2007 г.).

Преподавател по дирижиране, хорознание и хор в Института за музикални и хореографски кадри - София (1974-1987)

Експерт, главен експерт и началник отдел по музикално-сценични изкуства в М-во на културата (1991-1995).

Управител и арт. директор на Агенция "Камерна музика" ЕООД (1995 - 2003 г.), основател, артистичен директор и продуцент на фестивалите "Софийско лято" - фестивалът на българските музиканти, живеещи, работещи или специализиращи в чужбина (от 1995 г. ежегодно), "Стара европейска музика" (от 1995 г. ежегодно) и на поредица концертни цикли с принос за развитието на българското камерно музикално-изпълнителско изкуство: "Творци и поколения в българската музика", "Традиции и съвременност", "Музика на 20-ти век", "Музика БИС", "Музика алтернатива", "Портрети", "Романтика и съвременност", "Шедьоври на камерната музика", "Акценти", "Контрасти" , майсторски курсове по интерпретация и пр.

Професор по дирижиране, хорознание, курсов хор, методика на работата с хор и църковна музика в Югозападен университет "Неофит Рилски" - Благоевград (2006).