Константин Евтимов завършва Колеж по изкуствата в града и Националната музикална академия - София.

През 1996 г. участва като соло челист в световното турне на "Филхармония на нациите", Германия, под диригентството на Юстус Франц. Следва шестмесечна специализация при проф. Мария Клийгел в Есен, Германия. В същата година заминава в Берн за участие в майсторски клас при проф. Конрадин Бродбек. Получава с отличие концертна и солистична диплома за висше образование във висшето училище за музика и театър - Берн в класа по виолончело на проф. Конрадин Бротбек.

Посещава майсторските класове на Арто Норас, Робърт Коен, Йънг Чанг Чо, Марти Роузи и др. През 1998, все още студент, Евтимов започва да свири в симфоничния оркестър на Лозана. Два месеца по-късно е назначен за концертмайстор на същия оркестър.

Концертира на фестивалите: "Пабло Казалс" - Прад, Франция; "Чело фестивал Кромберг", Германия; "Моцартеум Залцбург" - Залцбург, Австрия, "Летен музикален фестивал" - Дъблин, Ирландия; "Музикални дни - Грац" - Грац, Австрия; "Музикален фестивал Токио" - Токио, Япония; "Музикален фестивал Хирошима" - Хирошима, Япония; "Мартенски музикални дни" - Русе, "Софийско лято", "Скопско лето" и др.

Свирил е като солист с Лондонска филхармония, Бернска филхармония, Симфоничен оркестър - Грац, Синфониета - Лозана, Камерата - Лозана, Симфоничен оркестър Бил, Софийска филхармония и Русенска филхармония.

Изнася рецитали в Монпелие, Лондон, Манчестър, Дъблин, Токио, Хирошима, Пекин, Шанхай, Берн, Цюрих, Женева, Лозана, Грац, Хамбург, Прад, Русе, София, Солун, Нови Сад, Скопие и др.

Константин Евтимов е свирил в камерни формации с Мстислав Ростропович, Шломо Минц, Юрий Башмет, Пиер Амоял, Йорг Демус и др.

Правил е записи за ARD, ZDF, радио Espace 2 CH, радио TSR - 1 CH, Radio Camerata - Tokio, БНР, Българската и Аржентинската телевизия.

В продължение на 7 години е концертмайстор на Камерата - Лозана. От 1998 до 2008 г. е концертмайстор на Синфониета - Лозана.

През 2008 г. се прибира окончателно в България. Напуска Синфониета и започва концертна дейност в България. През януари 2009 г. е поканен да свири на откриването на фестивала "Камерна сцена София", посветен на 130-ата годишнина от обявяването на град София за столица на България. През януари 2010 г. е поканен да свири заедно с Теодосий Спасов на концерт по случай 75-годишнината на БНР, проведен в Народен театър "Иван Вазов".

От 2009 г. е концертмайстор на Симфоничния оркестър на БНР. От 2014 г. участва в "Трио Арденца" заедно с Даниела Дикова, пиано, и концертмайсторката на Симфоничния оркестър на БНР Галина Койчева-Мирчева.