Александър Чирков завършва Висшия медицински институт в София през 1962 г.

Заминава през 1966 г. за Западен Берлин, където специализира при известния кардиохирург проф. Бюхлер. Остава там като лекар в Университетската болница, после се прехвърля в Западна Германия - в университета във Франкфурт на Майн и в университета във Фрайбург, където е професор от 1981 г.

През 1984 г. се завръща в България, поканен от акад. Атанас Малеев, ректор на Медицинската академия и заместник-министър на здравеопазването. Извършва първата сърдечна трансплантация в България и на Балканите през 1986 г. Дълги години е директор на болницата "Св. Екатерина".

Проф. Чирков печели световна популярност и признателност за професионализма си в сферата на сърдечните болести, операции, трансплантации.

Умира на 24 ноември 2020 във Варна.