Александър Станишев завършва с деветнадесетия випуск Солунската българска мъжка гимназия през 1904 г.

През периода 1904-1905 г. учи естествена история в Софийския университет.
След 6 годишно обучение през 1910 г. завършва Медицинския факултет на Мюнхенския университет в Германия.

През периода 1910-1912 г. работи като асистент в Университетската хирургическа клиника в Мюнхен и в болници в Лозана, Берн и Линдау.

През Балканските и Първата световна война участва като хирург в български военни болници. За отличия и заслуги през третия период на войната е награден с орден "Свети Александър", V степен.

След войните (1919-1920) Станишев специализира в Хайделберг и Мюнхен при професорите Зауербрух и Кохер.

От 1920 година е доцент в Катедрата по клинична хирургия на Медицинския факултет в Софийския университет, от 1923 е извънреден, а по-късно и редовен професор в същата катедра. Основател е и пръв директор на Хирургическата клиника в София. Декан е на Медицинския факултет на Софийския университет (1930 - 1931, 1937 - 1938), а през 1938 - 1939 - ректор на Софийския университет "Свети Климент Охридски".

Александър Станишев е избран за член през 1935 г., а през 1938 г. за подпредседател на Международната хирургическа академия в Женева.

През 1939 г. става почетен член на Университета в Хамбург, а през следващата година е провъзгласен и за почетен доктор на Берлинския университет.

Политическата дейност на Александър Станишев е свързана с борбата за освобождението на Македония, попаднала под сръбска и гръцка власт след 1913 г., както и с идеите му за сближение на България с Германия. Член-учредител е на Македонския научен институт. От 1 юни 1944 г. до 2 септември 1944 година Станишев е министър на вътрешните работи и народното здраве в правителството на Иван Багрянов.

През 1944 г. е арестуван и осъден от Народния съд на смърт, глоба от пет милиона лева и конфискация на имуществото. На 1 февруари 1945 г. е екзекутиран. През 1996 година с Решение №172 на Върховния съд присъдата му е отменена.

Къщата му в София в 1978 година е обявена за паметник на културата.