Започва да свири на цигулка на четиригодишна възраст с пръв учител баща му. По-късно семейството му се преселва в София, където Саша Попов учи при Петко Наумов.

През 1908 г. заминава за Виена, където доразвива свиренето си на цигулка. В главната столица на Австро-Унгарската империя, Попов учи при професор Карл Пирл и цигулковия педагог Отокар Шевчик. Приет е за студент във Виенската консерватория.

След завръщането си в България става преподавател в Музикалната академия. През 1932 г. е назначен за диригент на Софийската опера. През 1936 г., на основата на Академичния симфоничен оркестър, създава "Царски симфоничен оркестър", предшественик на днешната Софийска филхармония. С този оркестър осъществява множество концерти в България и чужбина. През 1945 г. основава нов симфоничен оркестър във Варна. Продължава да ръководи "Царския симфоничен оркестър", през 1949 г. преименуван на Софийска държавна филхармония, до 11 февруари 1956 г., когато е пенсиониран.

След освобождаването от поста му Попов основава оркестъра "Колегиум за камерна музика". По-късно заминава в чужбина, където последователно работи в Израел, Египет и САЩ.

През живота си Саша Попов се жени пет пъти. Той е баща на оперната певица Валери Попова и дядо на Александрина Пендачанска.

През 1999 г. прахът му е донесен от Лос Анджелис в България и положен в Централните софийски гробища.