Константин Нунков учи в Пловдив от 1891 до 1892 г., но не успява да завърши образованието си поради липса на средства.

Работи като печатарски работник в Пловдив и София, като докато е в Пловдив за известно време живее с Пейо Яворов.

Нунков взима участие в така наречената Четническа акция, която е организирана от Македонския комитет в 1895 г.

В 1900 г. влиза с чета в Горноджумайско. През януари 1902 г. е в революционния пункт на ВМОРО в Проглед и проучва условията за атентати в Ксантийско и Ахъчелебийско.

На Пловдивския конгрес през 1902 г. му е възложена организационната работа в Гюмюрджинско и Дедеагачко.

Прави неуспешни опити за атентати по време на Илинденско-Преображенското въстание. През юли 1904 г. става войвода в Кумановско, където се бори срещу Сръбската въоръжена пропаганда в Македония. На 2 януари 1905 г. е делегат на скопския конгрес на ВМОРО във Кнежево.

Загива край село Кутлибег в битка с турски аскер Коста Нунков заедно със седемчленната си чета и четирима милиционери от съседните села, начело с Пешо Иванов от Пезово.