Израснал в спортно семейство, Алберт се качва на ски за пръв път едва двегодишен. Заедно със своята сестра Александра започва да тренира в ски-училището Мотен. През 2008 година двамата стават част от СК Витоша ски.

През 2012 и 2013 година, той успява да триумфира в слалома за купа "Тополино". 2014 година пък бележи и дебютът му в състезанията при мъжете, като състезанието се провежда в Пампорово. Първият му пълен сезон трябва да е през 2015, но през ноември същата година става жертва на тежка автомобилна катастрофа край Зьолден (Австрия) и се налага глезенът му да бъде опериран, след което са му поставени и два пирона.

През ноември 2018 г. Алберт Попов завършва на 20-о място в слалома в първия старт за сезона от Световната купа по ски-алпийски дисциплини във финландския зимен център Леви и за първи път в кариерата си спечели точки за Световната купа.