Баща му е офицер, а майка му е учителка по руски език и литература, музика и също е диригент на фолклорен хор и ансамбъл в Сливен.

Завършва математическа гимназия и след казармата следва две години в Техническия университет във Варна. Участието му в театралната трупа на университета (тогава ВМЕИ) под режисурата на Стоян Алексиев го "запалва" за театрална кариера.

Напуска университета и работи в Драматичен театър "Стефан Киров", Сливен като сценичен работник и осветител. През 1984 г. е приет във ВИТИЗ "Кръстьо Сарафов", завършва режисура за куклен театър през 1990 г. в класа на Юлия Огнянова и кинорежисура при Георги Дюлгеров през 1994 година.

Играл е в Родопски драматичен театър "Николай Хайтов" (1989-1990), Театър "София" (1991-1992) и театър "Ла Страда" (1993-1994). От 1993 г. Морфов е режисьор в Народен театър "Иван Вазов", а през 2000-2001 е негов директор и художествен ръководител. Асистент по режисура на драматичен театър (1992-1995). От 2001 до 2006 г. е главен режисьор в Театър "Вера Комисаржевска" в Санкт Петербург. След 2009 г. е главен режисьор на Народния театър "Иван Вазов", от януари до септември 2015 г. е и негов временен директор.

На 28 февруари 2023 г. Александър Морфов е уволнен дисциплинарно от Народния театър "Иван Вазов".

Член на програмния съвет на БНТ (1998).

Женен за актрисата Рени Врангова, с която имат две дъщери - Неда и Сара.