Александър Александров завършва специалност летец-инженер през 1974 г. До 1978 г. служи в бойните части на Военновъздушните сили като пилот на изтребител-бомбардировач. През 1983 г. завършва аспирантура в Института за космически изследвания към Академията на науките на бившия СССР, Москва. Получава научна степен "кандидат на техническите науки" (сега доктор).

През 1977 г. Александров е избран за космонавт във втората група от програмата "Интеркосмос", заедно с първия български космонавт Георги Иванов. Готви се за космическия полет през 1979 г., при който е дубльор на Георги Иванов. Поради технически проблеми космическият полет на Георги Иванов е прекъснат по-рано и не се изпълнява.

След допълнително споразумение между България и СССР се подготвя изпращането на втори български космонавт. През юни 1988 г. Александър Александров става вторият българин, излетял в Космоса. По време на полета извършва 59 успешни научни експеримента, включително изпитание на български храни за космонавти. Експериментите са разработени от Института за космически изследвания при БАН с ръководител акад. Димитър Мишев. По време на полета е осъществен телемост на космонавтите с Тодор Живков, предаван директно по Българската национална телевизия.

През 2002 г. е удостоен с висше военно звание бригаден генерал.

Награден е с орден "Стара планина".

С указ № 246 от 11 декември 2013 г. за особено големите му заслуги за укрепване и развитие на въоръжените сили е повишен във висше военно звание в резерва генерал-майор.

На 13 март 2019 г. "за големите му заслуги за развитието и укрепването на въоръжените сили, за дългогодишната му и безупречна служба и за приноса му за националната сигурност на Република България" е награден с орден "За военна заслуга" първа степен.