Баща му е уважаваният д-р Николай Минчев. Любител на музиката, бащата заразява с тази страст своя син. От най-ранна възраст Минчо започва да изучава цигулка под ръководството на Петър Чаракчиев.

На девет годишна възраст изнася първия си самостоятелен концерт в залата на Драматичен театър "Рачо Стоянов".

Продължава образованието си в Национално музикално училище "Любомир Пипков", София като ученик на проф. Емил Камиларов, при когото продължава да следва и в Българската държавна консерватория в София. Заради отлични постижения е изпратен от Министерството на културата на двугодишна специализация при световноизвестния цигулков педагог Ифра Нийман в Лондон.

Минчо Минчев печели 3 първи награди на конкурса "Карл Флеш" в Лондон - награда на журито, награда на публиката и награда за най-добро изпълнение на музика на Бетховен. Става лауреат на международните авторитетни конкурси "Виенявски" (Полша) и "Паганини" (Италия). След тези призове дъщерята на големия цигулар от началото на ХХ век Йозеф Сигети му предоставя за 2 години цигулка "Гуарнери", принадлежаща на нейния баща.

През 1977 г. специално за него българската държава купува цигулка "Страдивари - барон Витгенщайн", изработена от големия италиански майстор през 1716 г.

Минчо Минчев е бил солист на световноизвестни оркестри като: Лондонската кралска филхармония, Амстердамския симфоничен оркестър, Санктпетербургската филхармония, Дрезденската филхармония, Женевския радиоцентър, Букурещката филхармония, Атинската филхармония, Истанбулската филхармония, Анкарската филхармония.

Сред световноизвестните диригенти, с които е партнирал, са сър Невил Маринър, сър Александър Гибсън, Джон Елиът Гардинър, Ленърд Слаткин.