Илия Чубриков започва да се занимава със спорт още в началното училище, първоначално със ски-спорт, а по-късно и с мотоциклетизъм.

През 1956 година участва в състезание, проведено в баварския град Гармиш-Партенкирхен, където се класира на първо място.

През 1967 г. Илия и неговият навигатор Кольо Чубриков стартират в известното в миналото Рали Трансбалкания, което се провежда на територията на три държави - България, Югославия и Румъния, със състезателен автомобил Булгар Рено 8, с обем на двигателя 1150 см³, като екипажът печели победа в клас до 1400 см³.

Печели Рали "Златни пясъци" (сега Рали България) с хитовия по това време автомобил Рено Алпин 1600, през 1971 година.

През 1983 година става част от популярния тим на цигарения концерн Ротмънс, за който пилотира автомобил Рено 5 Турбо. С новия си автомобил се класира на 3-то място на Рали "Златни Пясъци", побеждава в Рали Хеброс и Рали Гюнайдън (Турция). Благодарение на доброто си представяне през годината, Чубриков завършва на пето място в европейския шампионат.

Приключва своята кариера на състезател през 1990 година.