Веселин Балевски постъпва в школата на Локомотив (Пловдив) през 1971 г. Пет години по-късно е привлечен в първия състав. На 17-годишна възраст дебютира в "А" група при гостуване на Спартак (Варна) на 31 август 1976 г. За Локомотив изиграва общо 78 мача в шампионата, в които бележи един гол.

През 1980 г. Балевски е привлечен в Левски (София). За 5 сезона в клуба изиграва общо 153 мача - 114 в "А" група, 24 за купата и 15 в евротурнирите. С Левски става шампион на България през 1983/84 и 1984/85, а освен това печели и националната купа през 1983/84. След като през 1985 г. клубът е девоенизиран и преименуван на Витоша решава да прекрати кариерата си, макар да е само на 26 години, и така остава в системата на МВР като служител в отдел "Задгранични паспорти".

Между 1980 г. и 1982 г. записва 19 мача за националния отбор на България.

През 1993 г. Балевски е избран за член на Изпълнителния комитет на Българския футболен съюз, когато президент на централата е Димитър Ларгов. След това е част от Изпълкома при управлението на Иван Славков, както и при първия мандат на Борислав Михайлов. Между 1993 г. и 2009 г. общо 16 години е член на Изпълнителния комитет на Българския футболен съюз. На 12 октомври 2021 г. е член на ИК на БФС. Бил е също съветник на Иван Костов по въпросите на младежта и спорта.