Александър Велев е завършил Немската езикова гимназия в София. Висшето си образование по специалност икономика придобива в УНСС, където завършва и журналистика.

Професионалната си кариера започва в "Международна информация" на Българското национално радио през 1990 година. Бил е водещ на "Новини", "Нощен блок" и на предаванията "Хоризонт на вълните на младостта", "Нещо повече" и "Неделя 150". Гост-журналист в Швейцарското обществено радио SRG/SRI. Заради протест срещу цензурата е уволнен през 1995 година заедно с още шестима журналисти. Завръща се две години по-късно като директор на програма "Хоризонт". Бил е кореспондент на БНР в Скопие, Белград и Берлин. От 1998 до 2001 е генерален директор на БНР. Работил е и за частни медии - вестник "Новинар", радио "Тангра", радио "ФМ+", "Дарик радио". Основател и заместник-председател на сдружение "Свободно слово". Завеждал е "Връзки с обществеността" на профсъюз "Промяна".

Генерален консул на България в Истанбул 2011 - 2014 г.

Печели конкурса за генерален директор на БНР за втори път през май 2016 г. Поема втория си мандат (до 2019 г.) в изключително трудна обстановка на напрежение между журналистите и програмите в медията. Основно негова цел е възстановяване на доверието в ръководството, възраждане на диалога вътре в радиото, преодоляване на противопоставянето, обединяване около необходимостта от реформи.